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2.2: Lineare Gleichungen in einer Variablen


Lernziele

  • Lösen Sie Gleichungen in einer Variablen algebraisch.
  • Löse eine rationale Gleichung.
  • Finden Sie eine lineare Gleichung.
  • Bestimmen Sie anhand der Gleichungen von zwei Geraden, ob ihre Graphen parallel oder senkrecht sind.
  • Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden parallel oder senkrecht zu einer gegebenen Geraden.

Caroline ist eine Vollzeitstudentin, die einen Frühlingsferienurlaub plant. Um genug Geld für die Reise zu verdienen, hat sie einen Teilzeitjob bei der örtlichen Bank angenommen, die ($15,00/Std.) zahlt, und sie hat am 15. Januar ein Sparkonto mit einer anfänglichen Einzahlung von ($400) eröffnet. Sie veranlasste die direkte Einzahlung ihrer Gehaltsschecks. Wenn die Frühlingsferien am 20. März beginnen und die Reise ungefähr (2.500 $) kosten wird, wie viele Stunden muss sie arbeiten, um genug zu verdienen, um ihren Urlaub zu bezahlen? Wenn sie nur (4) Stunden pro Tag arbeiten kann, wie viele Tage pro Woche muss sie dann arbeiten? Wie viele Wochen wird es dauern? In diesem Abschnitt werden wir Probleme wie dieses und andere untersuchen, die Graphen wie die Linie in Abbildung (PageIndex{1}) erzeugen.

Lösen linearer Gleichungen in einer Variablen

EIN Lineargleichung ist eine Gleichung einer geraden Linie, die in eine Variable geschrieben wird. Die einzige Potenz der Variablen ist (1). Lineare Gleichungen in einer Variablen können die Form (ax +b=0) annehmen und werden mit grundlegenden algebraischen Operationen gelöst. Wir beginnen damit, dass wir lineare Gleichungen in einer Variablen als einen von drei Typen klassifizieren: Identität, bedingt oder inkonsistent.

  • Ein Identitätsgleichung ist für alle Werte der Variablen wahr. Hier ist ein Beispiel für eine Identitätsgleichung: [3x=2x+x onumber] The Lösungssatz besteht aus allen Werten, die die Gleichung wahr machen. Für diese Gleichung besteht die Lösungsmenge aus allen reellen Zahlen, da jede reelle Zahl, die für (x) eingesetzt wird, die Gleichung wahr macht.
  • EIN bedingte Gleichung ist nur für einige Werte der Variablen wahr. Wenn wir zum Beispiel die Gleichung (5x+2=3x−6) lösen sollen, haben wir folgendes: [egin{align*} 5x+2&=3x-6 2x &=-8 x&=-4 end{align*} ] Die Lösungsmenge besteht aus einer Zahl: ({−4}). Es ist die einzige Lösung und daher haben wir eine Bedingungsgleichung gelöst.
  • Ein inkonsistente Gleichung führt zu einer falschen Aussage. Wenn wir zum Beispiel (5x−15=5(x−4)) lösen sollen, haben wir folgendes: [egin{align*} 5x−15 &=5x−20 5x−15- 5x &= 5x−20-5x −15 & eq −20 end{align*}]In der Tat (−15≠−20). Es gibt keine Lösung, da dies eine inkonsistente Gleichung ist.

Das Lösen linearer Gleichungen in einer Variablen beinhaltet die grundlegenden Eigenschaften der Gleichheit und grundlegende algebraische Operationen. Es folgt ein kurzer Überblick über diese Operationen.

LINEARE GLEICHUNG IN EINER VARIABLEN

Eine lineare Gleichung in einer Variablen kann in der Form geschrieben werden

[ax+b=0]

wobei a und b reelle Zahlen sind, (a≠0).

Howto: Gegeben eine lineare Gleichung in einer Variablen, verwenden Sie Algebra, um sie zu lösen

Die folgenden Schritte werden verwendet, um eine Gleichung zu manipulieren und die unbekannte Variable zu isolieren, sodass die letzte Zeile (x=)_________ lautet, wenn (x) die Unbekannte ist. Es gibt keine festgelegte Reihenfolge, da die verwendeten Schritte von den Vorgaben abhängen:

  1. Wir können eine Gleichung durch eine Zahl oder einen Ausdruck addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, solange wir auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe tun. Beachten Sie, dass wir nicht durch Null dividieren können.
  2. Wenden Sie die Verteilungseigenschaft nach Bedarf an: (a(b+c)=ab+ac).
  3. Isolieren Sie die Variable auf einer Seite der Gleichung.
  4. Wenn die Variable in der letzten Phase mit einem Koeffizienten multipliziert wird, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Koeffizienten.

Beispiel (PageIndex{1}): Lösen einer Gleichung in einer Variablen

Lösen Sie die folgende Gleichung: (2x+7=19).

Lösung

Diese Gleichung kann in der Form (ax +b=0) geschrieben werden, indem von beiden Seiten 19 abgezogen wird. Wir können jedoch fortfahren, die Gleichung in ihrer ursprünglichen Form zu lösen, indem wir algebraische Operationen durchführen.

[egin{align*} 2x+7&=19 2x&=12qquad ext{Subtrahiere 7 von beiden Seiten} x&=6qquad ext{Multipliziere beide Seiten mit } dfrac{1}{ 2} ext{ oder dividiere durch } 2 end{align*}]

Die Lösung ist (6).

Übung (PageIndex{1})

Löse die lineare Gleichung in einer Variablen: (2x+1=−9).

Antworten

(x=−5)

Beispiel (PageIndex{2}): Lösen, wenn die Variable auf beiden Seiten erscheint

Lösen Sie die folgende Gleichung: (4(x−3)+12=15−5(x+6)).

Lösung

Wenden Sie algebraische Standardeigenschaften an.

[egin{align*} 4(x-3)+12&=15-5(x+6) 4x-12+12&=15-5x-30qquad ext{Anwenden der Verteilungseigenschaft} 4x&=-15-5xqquad ext{Kombiniere gleiche Terme} 9x&=-15qquad ext{x Terme zur Seite legen und vereinfachen} x&=-dfrac{15}{9}qquad ext{Beide Seiten multiplizieren mit } dfrac{1}{9} ext { , dem Kehrwert von } 9 x&=-dfrac{3}{5} end{align*}]

Analyse

Dieses Problem erfordert, dass die Verteilungseigenschaft zweimal angewendet wird, und dann werden die Eigenschaften der Algebra verwendet, um die letzte Zeile (x=-dfrac{3}{5}) zu erreichen.

Übung (PageIndex{2})

Lösen Sie die Gleichung in einer Variablen: (−2(3x−1)+x=14−x).

Antworten

(x=-3)

Lösen einer rationalen Gleichung

In diesem Abschnitt betrachten wir rationale Gleichungen, die nach einiger Manipulation zu einer linearen Gleichung führen. Wenn eine Gleichung mindestens einen rationalen Ausdruck enthält, gilt sie als a rationale Gleichung. Denken Sie daran, dass a Rationale Zahl ist das Verhältnis zweier Zahlen, etwa (dfrac{2}{3}) oder (dfrac{7}{2}). Ein rationaler Ausdruck ist das Verhältnis oder der Quotient zweier Polynome. Hier sind drei Beispiele.

[dfrac{x+1}{x^2-4} onumber]

[dfrac{1}{x-3} onumber]

oder

[dfrac{4}{x^2+x-2} onumber]

Rationale Gleichungen haben in mindestens einem der Terme eine Variable im Nenner. Unser Ziel ist es, algebraische Operationen durchzuführen, damit die Variablen im Zähler erscheinen. Tatsächlich werden wir alle Nenner eliminieren, indem wir beide Seiten der Gleichung mit multiplizieren kleinster gemeinsamer Nenner (LCD). Das Auffinden des LCD bedeutet, einen Ausdruck zu identifizieren, der die höchste Potenz aller Faktoren in allen Nennern enthält. Wir tun dies, weil, wenn die Gleichung mit der LCD multipliziert wird, die gemeinsamen Faktoren in der LCD und in jedem Nenner gleich eins sind und sich aufheben.

Beispiel (PageIndex{3}): Lösen einer rationalen Gleichung

Löse die rationale Gleichung:

[dfrac{7}{2x}-dfrac{5}{3x}=dfrac{22}{3} onumber]

Lösung

Wir haben drei Nenner; (2x),(3x) und (3). Das LCD muss (2x),(3x) und (3) enthalten. Ein LCD von (6x) enthält alle drei Nenner. Mit anderen Worten, jeder Nenner kann gleichmäßig auf das LCD aufgeteilt werden. Als nächstes multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem LCD (6x).

[egin{ausrichten*}
(6x)left[dfrac{7}{2x}-dfrac{5}{3x} ight]&=left[dfrac{22}{3} ight](6x)
(6x)left(dfrac{7}{2x} ight)-(6x)left(dfrac{5}{3x} ight)&=left(dfrac{22}{3} ight )(6x)qquad ext{Verwende die Verteilungseigenschaft. Streichen Sie die gemeinsamen Faktoren aus}
3(7)-2(5)&=22(2x)qquad ext{Verbleibende Faktoren mit jedem Zähler multiplizieren.}
21-10&=44x
11&=44x
dfrac{11}{44}&=x
dfrac{1}{4}&=x
end{ausrichten*}]

Ein häufiger Fehler beim Lösen rationaler Gleichungen besteht darin, das LCD zu finden, wenn einer der Nenner ein Binomial ist – zwei Terme addiert oder subtrahiert – wie z. B. ((x+1)). Betrachten Sie ein Binomial immer als individuellen Faktor – die Begriffe können nicht getrennt werden. Angenommen, ein Problem hat drei Terme und die Nenner sind (x), (x−1) und (3x−3). Faktorisieren Sie zunächst alle Nenner. Wir haben dann (x), ((x−1)) und (3(x−1)) als Nenner. (Beachten Sie die Klammern um den zweiten Nenner.) Nur die letzten beiden Nenner haben einen gemeinsamen Faktor von ((x−1)). Das x im ersten Nenner ist getrennt von (x) im ((x−1))-Nenner. Eine effektive Möglichkeit, sich daran zu erinnern, besteht darin, faktorisierte und binomiale Nenner in Klammern zu schreiben und jede Klammer als separate Einheit oder als separater Faktor zu betrachten. Die LCD wird in diesem Fall durch Multiplikation von (x), einem Faktor von ((x−1)) und der 3 gefunden. Somit ist die LCD die folgende:

(x(x−1)3=3x(x−1))

Also würden beide Seiten der Gleichung mit (3x(x−1)) multipliziert. Lassen Sie die LCD-Anzeige in faktorisierter Form, da dies leichter zu erkennen ist, wie sich die einzelnen Nenner des Problems aufheben.

Ein anderes Beispiel ist ein Problem mit zwei Nennern, wie (x) und (x^2+2x). Sobald der zweite Nenner als (x^2+2x=x(x+2)) faktorisiert ist, gibt es einen gemeinsamen Faktor von (x) in beiden Nennern und die LCD ist (x(x+2) ).

Manchmal haben wir eine rationale Gleichung in Form einer Proportion; das heißt, wenn ein Bruch gleich einem anderen Bruch ist und es keine anderen Terme in der Gleichung gibt.

[dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}]

Wir können eine andere Methode verwenden, um die Gleichung zu lösen, ohne das LCD zu finden: Kreuzmultiplikation. Wir multiplizieren Terme, indem wir das Gleichheitszeichen überqueren.

Multiplizieren Sie a(d) und b(c), was zu (ad=bc) führt.

Jede Lösung, die einen Nenner im ursprünglichen Ausdruck gleich Null macht, muss von den Möglichkeiten ausgeschlossen werden.

RATIONALE GLEICHUNGEN

Ein rationsgleichung enthält mindestens einen rationalen Ausdruck, bei dem die Variable in mindestens einem der Nenner vorkommt.

Howto: Lösen Sie eine gegebene rationale Gleichung.

  1. Faktoriere alle Nenner in der Gleichung.
  2. Suchen und schließen Sie Werte aus, die jeden Nenner auf Null setzen.
  3. Suchen Sie das LCD.
  4. Multiplizieren Sie die ganze Gleichung mit dem LCD. Wenn die LCD-Anzeige korrekt ist, sind keine Nenner mehr vorhanden.
  5. Löse die verbleibende Gleichung.
  6. Stellen Sie sicher, dass Sie die Lösungen in den ursprünglichen Gleichungen wieder überprüfen, um zu vermeiden, dass eine Lösung eine Null im Nenner erzeugt

Beispiel (PageIndex{4}): Lösen einer rationalen Gleichung ohne Faktorisieren

Lösen Sie die folgende rationale Gleichung:

(dfrac{2}{x}-dfrac{3}{2}=dfrac{7}{2x})

Lösung

Wir haben drei Nenner: (x), (2) und (2x). Factoring ist nicht erforderlich. Das Produkt der ersten beiden Nenner ist gleich dem dritten Nenner, also ist die LCD (2x). Nur ein Wert ist aus einer Lösungsmenge ausgeschlossen, (0). Als nächstes multiplizieren Sie die ganze Gleichung (beide Seiten des Gleichheitszeichens) mit (2x).

Die vorgeschlagene Lösung ist (−1), was kein ausgeschlossener Wert ist, also enthält die Lösungsmenge eine Zahl, (x=−1) oder ({−1}), geschrieben in Mengennotation .

Übung (PageIndex{4})

Löse die rationale Gleichung:

(dfrac{2}{3x}=dfrac{1}{4}-dfrac{1}{6x})

Antworten

(x=dfrac{10}{3})

Beispiel (PageIndex{5}): Lösen einer rationalen Gleichung durch Faktorisieren des Nenners

Lösen Sie die folgende rationale Gleichung:

(dfrac{1}{x}=dfrac{1}{10}-dfrac{3}{4x})

Lösung

Finden Sie zuerst den gemeinsamen Nenner. Die drei Nenner in faktorisierter Form sind (x,10=2⋅5) und (4x=2⋅2⋅x). Der kleinste durch jeden der Nenner teilbare Ausdruck ist (20x). Nur (x=0) ist ein ausgeschlossener Wert. Multiplizieren Sie die ganze Gleichung mit (20x).

[egin{align*} 20xleft(dfrac{1}{x} ight)&= left(dfrac{1}{10}-dfrac{3}{4x} ight)20x 20&= 2x-15 35&= 2x dfrac{35}{2}&= x end{align*}]

Die Lösung ist (dfrac{35}{2}).

Übung (PageIndex{5})

Löse die rationale Gleichung:

[-dfrac{5}{2x}+dfrac{3}{4x}=-dfrac{7}{4} onumber]

Antworten

(x=1)

Beispiel (PageIndex{6}): Lösen von rationalen Gleichungen mit einem Binomial im Nenner

Lösen Sie die folgenden rationalen Gleichungen und geben Sie die ausgeschlossenen Werte an:

  1. (dfrac{3}{x-6}=dfrac{5}{x})
  2. (dfrac{x}{x-3}=dfrac{5}{x-3}-dfrac{1}{2})
  3. (dfrac{x}{x-2}=dfrac{5}{x-2}-dfrac{1}{2})

Lösung

A.

Die Nenner (x) und (x−6) haben nichts gemeinsam. Daher ist die LCD das Produkt (x(x−6)). Für dieses Problem können wir jedoch kreuzmultiplizieren.

[egin{align*} dfrac{3}{x-6}&=dfrac{5}{x} 3x&=5(x-6)qquad ext{Verteilen.} 3x&= 5x-30 -2x&=-30 x&=15 end{ausrichten*}]

Die Lösung ist (15). Die ausgeschlossenen Werte sind (6) und (0).

B.

Die LCD ist (2(x−3)). Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (2(x−3)).

[egin{align*} 2(x-3)left [dfrac{x}{x-3} ight ]&= left [dfrac{5}{x-3}-dfrac{1 }{2} ight ]2(x-3) dfrac{2(x-3)x}{x-3}&= dfrac{2(x-3)5}{x-3}- dfrac{2(x-3)}{2} 2x&= 10-(x-3) 2x&= 13-x 3x&= 13 x&= dfrac{13}{3} end {ausrichten*}]

Die Lösung ist (dfrac{13}{3}). Der ausgeschlossene Wert ist (3).

C.

Der kleinste gemeinsame Nenner ist (2(x−2)). Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (x(x−2)).

[egin{align*} 2(x-2)left [dfrac{x}{x-2} ight ]&= left [dfrac{5}{x-2}-dfrac{1 }{2} ight ]2(x-2) 2x&= 10-(x-2) 2x&= 12-x 3x&= 12 x&= 4 end{align*}]

Die Lösung ist (4). Der ausgeschlossene Wert ist (2).

Übung (PageIndex{6})

Löse (dfrac{-3}{2x+1}=dfrac{4}{3x+1}). Geben Sie die ausgeschlossenen Werte an.

Antworten

(x=-dfrac{7}{17}). Ausgeschlossene Werte sind (x=−12) und (x=−13).

Beispiel (PageIndex{7}): Lösen einer rationalen Gleichung mit faktorisierten Nennern und Angabe ausgeschlossener Werte

Lösen Sie die rationale Gleichung nach Faktorisieren der Nenner: (dfrac{2}{x+1}-dfrac{1}{x-1}=dfrac{2x}{x^2-1}). Geben Sie die ausgeschlossenen Werte an.

Lösung

Wir müssen den Nenner (x^2−1) faktorisieren. Wir erkennen dies als Differenz der Quadrate und faktorisieren sie als ((x−1)(x+1)). Somit ist die LCD, die jeden Nenner enthält, ((x−1)(x+1)). Multiplizieren Sie die gesamte Gleichung mit dem LCD, löschen Sie die Nenner und lösen Sie die verbleibende Gleichung.

[egin{align*} (x+1)(x-1)left [dfrac{2}{x+1}-dfrac{1}{x-1} ight ]&= left [ dfrac{2x}{x^2-1} ight ](x+1)(x-1) 2(x-1)-(x+1)&= 2x 2x-2-x- 1&= 2x ext{ Minuszeichen verteilen} -3-x&= 0 x&= -3 end{align*}]

Die Lösung ist (−3). Die ausgeschlossenen Werte sind (1) und (−1).

Übung (PageIndex{7})

Löse die rationale Gleichung:

(dfrac{2}{x-2}+dfrac{1}{x+1}=dfrac{1}{x^2-x-2})

Antworten

(x=dfrac{1}{3})

Finden einer linearen Gleichung

Die vielleicht bekannteste Form einer linearen Gleichung ist die Steigungsschnittform, geschrieben als [y=mx+b] wobei (m= ext{Steigung}) und (b= ext{y−Achsenabschnitt.}) Beginnen wir mit der Steigung.

Das Neigung einer Linie bezieht sich auf das Verhältnis der vertikalen Änderung von (y) zur horizontalen Änderung von (x) zwischen zwei beliebigen Punkten auf einer Linie. Es gibt die Richtung an, in die eine Linie geneigt ist, sowie ihre Steilheit. Hang wird manchmal als Anstieg über Run beschrieben.

[m=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Bei positiver Steigung verläuft die Linie nach rechts. Wenn die Steigung negativ ist, neigt sich die Linie nach links. Mit zunehmender Steigung wird die Linie steiler. Einige Beispiele sind in Abbildung (PageIndex{2}) dargestellt. Die Linien geben die folgenden Steigungen an: (m=−3), (m=2) und (m=dfrac{1}{3}).

DIE STEIGUNG EINER LINIE

Die Steigung einer Geraden (m) repräsentiert die Änderung von (y) gegenüber der Änderung von (x). Bei zwei Punkten ((x_1,y_1)) und ((x_2,y_2)) bestimmt die folgende Formel die Steigung einer Geraden, die diese Punkte enthält:

[m=dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]

Beispiel (PageIndex{8}): Ermitteln der Steigung einer Geraden mit zwei Punkten

Bestimmen Sie die Steigung einer Geraden, die durch die Punkte ((2,−1)) und ((−5,3)) verläuft.

Lösung

Wir setzen die (y)-Werte und die (x)-Werte in die Formel ein.

[egin{align*} m&= dfrac{3-(-1)}{-5-2} &= dfrac{4}{-7} &= -dfrac{4}{ 7} end{ausrichten*}]

Die Steigung ist (-dfrac{4}{7})

Analyse

Es spielt keine Rolle, welcher Punkt ((x_1,y_1)) oder ((x_2,y_2)) heißt. Solange wir mit der Reihenfolge der (y)-Terme und der Reihenfolge der (x)-Terme im Zähler und Nenner übereinstimmen, führt die Rechnung zum gleichen Ergebnis.

Übung (PageIndex{8})

Bestimmen Sie die Steigung der Geraden, die durch die Punkte ((−2,6)) und ((1,4)) verläuft.

Antworten

(m=-dfrac{2}{3})

Beispiel (PageIndex{9}): Ermittlung der Steigung und des y-Achsenabschnitts einer Geraden mit einer Gleichung

Bestimmen Sie die Steigung und den (y)-Achsenabschnitt, gegeben der Gleichung (y=-dfrac{3}{4}x-4).

Lösung

Da die Gerade die Form (y=mx+b) hat, hat die gegebene Gerade eine Steigung von (m=-dfrac{3}{4}). Der (y)-Achsenabschnitt ist (b=−4).

Analyse

Der (y)-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem die Gerade die (y)-Achse schneidet. Auf der (y)-Achse (x=0). Wir können den (y)-Achsenabschnitt immer identifizieren, wenn die Gerade in Form eines Steigungsabschnitts vorliegt, da er immer gleich (b) ist. Oder ersetzen Sie einfach (x=0) und lösen Sie nach (y) auf.

Die Punkt-Steigungs-Formel

Mit der Steigung und einem Punkt auf einer Geraden können wir die Geradengleichung mit der Punkt-Steigungs-Formel ermitteln.

[y−y_1=m(x−x_1)]

Dies ist eine wichtige Formel, da sie in anderen Bereichen der College-Algebra und oft in der Analysis verwendet wird, um die Gleichung einer Tangente zu finden. Wir brauchen nur einen Punkt und die Steigung der Geraden, um die Formel zu verwenden. Nachdem wir die Steigung und die Koordinaten eines Punktes in die Formel eingesetzt haben, vereinfachen wir sie und schreiben sie in Form eines Steigungsabschnitts.

DIE PUNKT-Slope-Formel

Bei einem Punkt und der Steigung führt die Punkt-Steigungs-Formel zu einer Geradengleichung:

[y−y_1=m(x−x_1)]

Beispiel (PageIndex{10}): Ermitteln der Gleichung einer Geraden bei gegebener Steigung und einem Punkt

Schreiben Sie die Gleichung der Geraden mit Steigung (m=−3) und durch den Punkt ((4,8)). Schreiben Sie die endgültige Gleichung in Form eines Steigungsabschnitts.

Lösung

Ersetzen Sie mit der Punkt-Steigungs-Formel (−3) für m und den Punkt ((4,8)) für ((x_1,y_1)).

[egin{ausrichten*} y-y_1&= m(x-x_1) y-8&= -3(x-4) y-8&= -3x+12 y&= -3x+20 end{ausrichten*}]

Analyse

Beachten Sie, dass jeder Punkt auf der Linie verwendet werden kann, um die Gleichung zu finden. Wenn es richtig gemacht wird, wird die gleiche endgültige Gleichung erhalten.

Übung (PageIndex{10})

Gegeben (m=4) finden Sie die Gleichung der Geraden in Steigungsabschnittsform, die durch den Punkt ((2,5)) verläuft.

Antworten

(y=4x−3)

Beispiel (PageIndex{11}): Ermitteln der Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft

Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte ((3,4)) und ((0,−3)) verläuft. Schreiben Sie die endgültige Gleichung in Form eines Steigungsabschnitts.

Lösung

Zuerst berechnen wir die Steigung mit der Steigungsformel und zwei Punkten.

[egin{align*} m&= dfrac{-3-4}{0-3} m&= dfrac{-7}{-3} m&= dfrac{7}{3} end{ausrichten*}]

Als nächstes verwenden wir die Punkt-Steigungs-Formel mit der Steigung von (dfrac{7}{3}) und jedem Punkt. Wählen wir den Punkt ((3,4)) für ((x_1,y_1)).

[egin{align*} y-4&= dfrac{7}{3}(x-3) y-4&= dfrac{7}{3}x-7 y&= dfrac{7 }{3}-3 end{ausrichten*}]

In Steigungsabschnittsform wird die Gleichung geschrieben als (y=dfrac{7}{3}-3)

Analyse

Um zu beweisen, dass jeder Punkt verwendet werden kann, verwenden wir den zweiten Punkt ((0,−3)) und sehen, ob wir dieselbe Gleichung erhalten.

[egin{align*} y-(-3)&= dfrac{7}{3}(x-0) y+3&= dfrac{7}{3}x y&= dfrac {7}{3}-3 end{align*}]

Wir sehen, dass mit jedem Punkt dieselbe Linie erhalten wird. Dies ist sinnvoll, da wir beide Punkte zur Berechnung der Steigung verwendet haben.

Standardform einer Linie

Eine andere Möglichkeit, die Gleichung einer Geraden darzustellen, ist in Standardform. Standardform ist gegeben als

[Ax+Von=C]

wobei (A), (B) und (C) ganze Zahlen sind. Die (x)- und (y)-Terme stehen auf der einen Seite des Gleichheitszeichens und der Konstantenterm auf der anderen Seite.

Beispiel (PageIndex{12}): Die Gleichung einer Geraden finden und in Standardform schreiben

Finden Sie die Gleichung der Geraden mit (m=−6) und durch den Punkt (left(dfrac{1}{4},−2 ight)). Schreiben Sie die Gleichung in Standardform.

Lösung

Wir beginnen mit der Punkt-Steigungs-Formel.

[egin{align*} y-(-2)&= -6left(x-dfrac{1}{4} ight) y+2&= -6x+dfrac{3}{2} end{ausrichten*}]

Von hier aus multiplizieren wir mit (2), da in der Standardform keine Brüche erlaubt sind, und verschieben dann beide Variablen links neben das Gleichheitszeichen und verschieben die Konstanten nach rechts.

[egin{align*} 2(y+2)&= left(-6x+dfrac{3}{2} ight)2 2y+4&= -12x+3 12x+2y&= - 1 end{ausrichten*}]

Diese Gleichung wird jetzt in Standardform geschrieben.

Übung (PageIndex{12})

Finden Sie die Gleichung der Geraden in Standardform mit Steigung (m=−dfrac{1}{3}) und durch den Punkt ((1,13)).

Antworten

(x+3y=2)

Vertikale und horizontale Linien

Die Gleichungen der vertikalen und horizontalen Linien erfordern keine der vorstehenden Formeln, obwohl wir die Formeln verwenden können, um zu beweisen, dass die Gleichungen richtig sind. Die Gleichung von a vertikale Linie ist gegeben als

[x=c]

wobei (c) eine Konstante ist. Die Steigung einer vertikalen Linie ist undefiniert, und unabhängig vom (y)-Wert eines beliebigen Punktes auf der Linie ist die (x)-Koordinate des Punktes (c).

Angenommen, wir wollen die Gleichung einer Geraden finden, die die folgenden Punkte enthält: ((−3,−5)),((−3,1)),((−3,3)), und ((−3,5)). Zuerst suchen wir die Steigung.

(m=dfrac{5-3}{-3-(-3)}=dfrac{2}{0})

Null im Nenner bedeutet, dass die Steigung undefiniert ist und wir daher die Punkt-Steigungs-Formel nicht verwenden können. Wir können die Punkte jedoch darstellen. Beachten Sie, dass alle (x)-Koordinaten gleich sind und wir eine vertikale Linie durch (x=−3) finden. Siehe Abbildung (PageIndex{3}).

Die Gleichung von a horizontale Linie ist gegeben als

[y=c]

wobei (c) eine Konstante ist. Die Steigung einer horizontalen Linie ist null, und für jeden (x)-Wert eines Punktes auf der Linie ist die (y)-Koordinate (c).

Angenommen, wir wollen die Gleichung einer Geraden finden, die die folgende Menge von Punkten enthält: ((−2,−2)),((0,−2)),((3,−2) ) und ((5,−2)). Wir können die Punkt-Steigungs-Formel verwenden. Zuerst ermitteln wir die Steigung mit zwei beliebigen Punkten auf der Geraden.

[egin{align*} m&= dfrac{-2-(-2)}0,0-(-2)} &= dfrac{0}{2} &= 0 end{align *}]

Verwenden Sie einen beliebigen Punkt für ((x_1,y_1)) in der Formel oder verwenden Sie den y-Achsenabschnitt.

[egin{align*} y-(-2)&= 0(x-3) y+2&= 0 y&= -2 end{align*}]

Der Graph ist eine horizontale Linie durch (y=−2). Beachten Sie, dass alle y-Koordinaten gleich sind. Siehe Abbildung (PageIndex{3}).

Beispiel (PageIndex{13}): Ermitteln der Gleichung einer durch die gegebenen Punkte verlaufenden Geraden

Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die gegebenen Punkte geht: ((1,−3)) und ((1,4)).

Lösung

Die (x)-Koordinate beider Punkte ist (1). Daher haben wir eine vertikale Linie (x=1).

Übung (PageIndex{13})

Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch ((−5,2)) und ((2,2)) verläuft.

Antworten

Horizontale Linie: (y=2)

Bestimmen, ob Liniengraphen parallel oder senkrecht sind

Parallele Linien haben die gleiche Steigung und unterschiedliche y-Achsenabschnitte. Linien, die parallel zueinander sind, werden sich niemals schneiden. Abbildung (PageIndex{4}) zeigt beispielsweise die Graphen verschiedener Geraden mit derselben Steigung (m=2).

Alle im Diagramm gezeigten Linien sind parallel, da sie die gleiche Steigung und unterschiedliche y-Achsenabschnitte haben.

Linien, die aufrecht schneiden, um einen (90^{circ}) -Winkel zu bilden. Die Steigung einer Geraden ist negativ gegenseitig des anderen. Wir können zeigen, dass zwei Geraden senkrecht sind, wenn das Produkt der beiden Steigungen (−1:m_1⋅m_2=−1) ist. Abbildung (PageIndex{5}) zeigt beispielsweise den Graphen zweier senkrechter Linien. Eine Gerade hat eine Steigung von (3); die andere Gerade hat eine Steigung von (-dfrac{1}{3}).

[egin{align*} m_1cdot m_2&= -1 3cdot left (-dfrac{1}{3} ight )&= -1 end{align*}]

Beispiel (PageIndex{14}): Zwei Gleichungen grafisch darstellen und bestimmen, ob die Linien parallel, senkrecht oder keines sind

Zeichnen Sie die Gleichungen der gegebenen Geraden und geben Sie an, ob sie parallel, senkrecht oder keines von beiden sind: (3y=−4x+3) und (3x−4y=8).

Lösung

Das erste, was wir tun wollen, ist die Gleichungen so umzuschreiben, dass beide Gleichungen in Form von Steigungsabschnitten vorliegen.

Erste Gleichung:

[egin{align*} 3y&= -4x+3 y&= -dfrac{4}{3}x+1 end{align*}]

Zweite Gleichung:

[egin{align*} 3x-4y&= 8 -4y&= -3x+8 y&= dfrac{3}{4}x-2 end{align*}]

Siehe den Graphen beider Linien in Abbildung (PageIndex{6}).

Aus dem Diagramm können wir sehen, dass die Linien senkrecht erscheinen, aber wir müssen die Steigungen vergleichen.

[egin{align*} m_1&=-dfrac{4}{3} m_2&=dfrac{3}{4} m_1cdot m_2&=left(-dfrac{4}{3} ight)left(dfrac{3}{4} ight) &=-1 end{align*}]

Die Steigungen sind negative Kehrwerte zueinander, was bestätigt, dass die Linien senkrecht sind.

Übung (PageIndex{14})

Zeichne die beiden Linien und bestimme, ob sie parallel, senkrecht oder keines von beiden sind: (2y−x=10) und (2y=x+4).

Antworten

Parallele Linien: Gleichungen werden in Form von Steigungsabschnitten geschrieben.

Schreiben der Gleichungen von Linien parallel oder senkrecht zu einer gegebenen Linie

Wie wir gelernt haben, ist die Bestimmung, ob zwei Geraden parallel oder senkrecht sind, eine Frage der Steigung. Um die Gleichung einer Geraden parallel oder senkrecht zu einer anderen Geraden zu schreiben, folgen wir den gleichen Prinzipien wie beim Finden der Gleichung einer beliebigen Geraden. Nachdem Sie die Steigung gefunden haben, verwenden Sie die Punkt-Steigungs-Formel um die Gleichung der neuen Geraden zu schreiben.

Gegeben eine Gleichung für eine Linie, schreiben Sie die Gleichung einer Linie parallel oder senkrecht dazu.

  1. Finden Sie die Steigung der gegebenen Linie. Der einfachste Weg, dies zu tun, besteht darin, die Gleichung in Form einer Steigung zu schreiben.
  2. Verwenden Sie die Steigung und den angegebenen Punkt mit der Punkt-Steigungs-Formel.
  3. Vereinfachen Sie die Linie in eine Steigungsabschnittsform und vergleichen Sie die Gleichung mit der gegebenen Linie.

Beispiel (PageIndex{15}): Schreiben der Gleichung einer Geraden parallel zu einer gegebenen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

Schreiben Sie die Geradengleichung parallel zu a (5x+3y=1) und durch den Punkt ((3,5)).

Lösung

Zuerst schreiben wir die Gleichung in Form eines Steigungsabschnitts, um die Steigung zu finden.

[egin{align*} 5x+3y&= 1 3y&= -5x+1 y&= -dfrac{5}{3}+dfrac{1}{3} end{align*} ]

Die Steigung ist (m=−dfrac{5}{3}). Der y-Achsenabschnitt ist (13), aber das geht wirklich nicht in unser Problem ein, da wir nur die gleiche Steigung brauchen, damit zwei Geraden parallel sind. Die einzige Ausnahme ist, dass, wenn die (y)-Achsenabschnitte gleich sind, die beiden Linien dieselbe Linie sind. Der nächste Schritt besteht darin, diese Steigung und den gegebenen Punkt mit der Punkt-Steigungs-Formel zu verwenden.

[egin{align*} y-5&= -dfrac{5}{3}(x-3) y-5&= -dfrac{5}{3}x+5 y&= - dfrac{5}{3}+10 end{ausrichten*}]

Die Geradengleichung lautet (y=−dfrac{5}{3}x+10). Siehe Abbildung (PageIndex{8}).

Übung (PageIndex{15})

Finden Sie die Gleichung der Geraden parallel zu (5x=7+y) und durch den Punkt ((−1,−2)).

Antworten

(y=5x+3)

Beispiel (PageIndex{16}): Ermitteln der Gleichung einer Geraden senkrecht zu einer gegebenen Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

Finden Sie die Gleichung der Geraden senkrecht zu (5x−3y+4=0space(−4,1)).

Lösung

Der erste Schritt besteht darin, die Gleichung in Form eines Steigungsabschnitts zu schreiben.

[egin{align*} 5x-3y+4&= 0 -3y&= -5x-4 y&= dfrac{5}{3}x+dfrac{4}{3} end{align* }]

Wir sehen, dass die Steigung (m=dfrac{5}{3}) ist. Dies bedeutet, dass die Steigung der Geraden senkrecht zu der gegebenen Geraden der negative Kehrwert oder (-dfrac{3}{5}) ist. Als nächstes verwenden wir die Punkt-Steigungs-Formel mit dieser neuen Steigung und dem gegebenen Punkt.

[egin{align*} y-1&= -dfrac{3}{5}(x-(-4)) y-1&= -dfrac{3}{5}x-dfrac{12 }{5} y&= -dfrac{3}{5}x-dfrac{12}{5}+dfrac{5}{5} y&= -dfrac{3}{5}- dfrac{7}{5} end{align*}]

Medien

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  1. Rationale Gleichungen lösen
  2. Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten
  3. Finden der Gleichung einer Geraden senkrecht zu einer anderen Geraden durch einen gegebenen Punkt
  4. Finden der Gleichung einer Geraden parallel zu einer anderen Geraden durch einen gegebenen Punkt

Schlüssel Konzepte

  • Wir können lineare Gleichungen in einer Variablen in der Form (ax +b=0) unter Verwendung algebraischer Standardeigenschaften lösen. Siehe Beispiel und Beispiel.
  • Ein rationaler Ausdruck ist ein Quotient aus zwei Polynomen. Wir verwenden das LCD, um die Brüche aus einer Gleichung zu löschen. Siehe Beispiel und Beispiel.
  • Alle Lösungen einer rationalen Gleichung sollten innerhalb der ursprünglichen Gleichung verifiziert werden, um einen undefinierten Term oder Null im Nenner zu vermeiden. Siehe Beispiel und Beispiel.
  • Mit zwei Punkten können wir die Steigung einer Geraden mit der Steigungsformel ermitteln. Siehe Beispiel.
  • Wir können die Steigung und den (y)-Achsenabschnitt einer Gleichung in Form von Steigungsabschnitten identifizieren. Siehe Beispiel.
  • Wir können die Gleichung einer Geraden aus der Steigung und einem Punkt finden. Siehe Beispiel.
  • Wir können auch die Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten finden. Finden Sie die Steigung und verwenden Sie die Punkt-Steigungs-Formel. Siehe Beispiel.
  • Die Standardform einer Linie hat keine Brüche. Siehe Beispiel.
  • Horizontale Linien haben eine Steigung von Null und werden als (y=c) definiert, wobei (c) eine Konstante ist.
  • Vertikale Linien haben eine undefinierte Steigung (Null im Nenner) und werden als (x=c) definiert, wobei (c) eine Konstante ist. Siehe Beispiel.
  • Parallele Geraden haben die gleiche Steigung und unterschiedliche (y)-Schnittpunkte. Siehe Beispiel.
  • Senkrechte Linien haben negative Kehrwerte, es sei denn, eine ist horizontal und die andere vertikal. Siehe Beispiel.

Übung 2.2 Lineare Gleichungen in einer Variablen – NCERT-Lösungen Klasse 8

Wenn Sie (eginfrac<1><2>end) aus einer Zahl und multiplizieren das Ergebnis mit (eginfrac<1><2>end) erhalten Sie (eginfrac<1><8>end) . Wie lautet die Nummer?

Lösung

Videolösung

Das Bilden einer linearen Gleichung für die gegebene Problemstellung und deren Lösung führt zur Lösung.

Was bekannt ist?

(Ich beginnefrac<1><2>end) wird von einer Zahl abgezogen.

(ii) Ergebnis wird mit (eginfrac<1><2>end)

Was ist unbekannt?

(Ich beginnefrac<1><2>end) wird von einer Zahl (egin o x - frac<1><2>end)

(ii) Ergebnis wird mit (eginfrac<1> <2> o frac<1><2>(x - frac<1><2>)end)


1. Wenn Sie ½ von einer Zahl subtrahieren und das Ergebnis mit ½ multiplizieren, erhalten Sie ⅛ . Wie lautet die Nummer?
Lösung:
Die Zahl sei x.
Nach Frage,
( x – ½ ) × ½ =
x/2 – ¼ = ⅛
x/2 = + ¼
x/2 =
x = ×2
x =

2. Der Umfang eines rechteckigen Schwimmbeckens beträgt 154 m. Seine Länge beträgt 2 m mehr als das Doppelte seiner Breite. Welche Länge und Breite hat das Becken?
Lösung:
Umfang eines rechteckigen Schwimmbeckens = 154 m.
Sei die Breite des Rechtecks ​​= x
Nach Frage,
Länge des Rechtecks ​​= 2x + 2
Umfang des Rechtecks
= 2 (Länge + Breite)
= 2( 2x +2 + x)
= 154
2( 2x +2 + x) = 154
2(3x + 2) = 154
6x + 4 = 154
6x = 154 -4
6x = 150
x = 150/6
x = 25
Daher Breite = 25m.
Länge = 2×25 + 2 = 52m.

3. Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 4/3 cm. Der Umfang des Dreiecks beträgt 4_2/15cm.
Wie lang ist eine der verbleibenden gleichen Seiten?
Lösung:
Basis des gleichschenkligen Dreiecks = 4/3
Umfang des Dreiecks = 4_2/15 cm = 62/15 cm
Die Länge der gleichen Seiten des Dreiecks sei x.
Nach der Frage,
4/3 + x + x = 62/15
2x = 62/15 – 4/3
2x = (62-20)/15
2x = 42/15
x = 62/15 × ½
x = 42/30 cm²
x = 7/5 cm
Die Länge einer der verbleibenden gleichen Seiten beträgt 7/5 cm.

4. Die Summe zweier Zahlen ist 95. Wenn eine Zahl die andere um 15 überschreitet, finde die Zahlen.
Lösung:
Eine der Zahlen sei = x.
Dann wird die andere Zahl zu x + 15. Gemäß der Frage
x + x + 15 = 95
2x = 95 – 15
2x = 80
x = 80/2
x = 40
Erste Zahl = x = 40
Und andere Zahl = x + 15 = 40 + 15 = 55.

5. Zwei Zahlen stehen im Verhältnis 5:3. Wenn sie sich um 18 unterscheiden, wie lauten die Zahlen?
Lösung:
Lassen Sie die beiden Zahlen 5x und 3x sein.
Nach der Frage,
5x – 3x = 18
2x = 18
x = 18/2
x = 9
Die Zahlen sind 5x = 5 × 9 = 45
Und 3x = 3 × 9 = 27.

6. Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ergeben 51. Was sind diese ganzen Zahlen?
Lösung:
Die drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen seien x, x + 1, x +2.
Nach der Frage,
x + x + 1 + x + 2 = 51
3x + 3 = 51
3x = 51 – 3
3x = 48
x = 48/3
x = 16
also sind die ganzen Zahlen
x = 16
x + 1 = 17
x + 2 = 18

7. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Vielfachen von 8 ist 888. Finden Sie die Vielfachen.
Lösung:
Die drei aufeinanderfolgenden Vielfachen von 8 seien 8x, 8(x+1), 8(x+2).
Nach der Frage,
8x + 8(x+1) + 8(x+2) = 888
8 ( x + x + 1 + x + 2 ) = 888 ( 8 als üblich nehmen )
8( 3x + 3) = 888
3x + 3 = 888/8
3x + 3 = 111
3x = 111 – 3 = 108
x = 108/3
x = 36
Somit sind die drei aufeinanderfolgenden Vielfachen von 8:
8x = 8 × 36 = 288
8(x+1) = 8 × 37 = 296
8(x+2) = 8 × 38 = 304

8. Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind so, dass sie, wenn sie in aufsteigender Reihenfolge genommen und mit 2, 3 bzw. 4 multipliziert werden, zu 74 addiert werden. Finden Sie diese.
Lösung:
Die drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen seien x, x + 1, x +2.
Nach der Frage,
2x + 3(x+1) + 4(x+2) = 74
2x + 3x + 3 + 4x + 8 = 74
9x + 11 = 74
9x = 74 – 11
9x = 63
x = 63/9
x = 7
Somit lauten die Zahlen:
x = 7
x + 1 = 8
x + 2 = 9

9. Das Alter von Rahul und Haroon steht im Verhältnis 5:7. Vier Jahre später beträgt die Summe ihres Alters 56 Jahre. Wie alt sind sie heute?
Lösung:
Lass das Alter von Rahul und Haroon 5x und 7x sein.
Nach der Frage,
5x + 4 + 7x + 4 = 56
12x + 8 = 56
12x = 56 – 8
12x = 48
x = 48/12
x = 4
Deswegen,
Gegenwärtiges Alter von Rahul = 5x = 5 × 4 = 20
Und, gegenwärtiges Alter von Haroon = 7x = 7 × 4 = 28

10. Die Anzahl der Jungen und Mädchen in einer Klasse ist im Verhältnis 7:5. Die Anzahl der Jungen beträgt 8 mehr als die Zahl der Mädchen. Wie hoch ist die Gesamtklassenstärke?
Lösung:
Let the number of boys be 7x and girls be 5x.
According to the question,
7x = 5x +8
7x – 5x = 8
2x = 8
x = 8/4
x = 2
Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28
And, Number of girls = 5 × 4 = 20
Total number of students = 20 + 28 = 48

11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?
Lösung:
Let the age of Baichung’s father be x.
Then, the age of Baichung’s grandfather = x + 26.
and, Age of Baichung = x – 29.
According to the question,
x + x + 26 + x – 29 = 135
3x – 3 = 135
3x = 135 + 3
3x = 138/3
x = 46
Age of Baichung’s father = x = 46
Age of Baichung’s grandfather = x +26 = 72
Age of Baichung = x – 29 = 17

12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?
Lösung:
Let the present age of Ravi be x.
Fifteen years later, Ravi age will be x + 15years.
According to the question,
x + 15 = 4x
4x – x = 15
3x = 15
x = 15/3
x = 5
Therefore, present age of Ravi = 5 years.

13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get, -7/12. What is the number?
Lösung:
Let the rational number be x.
According to the question,
x × (5/2) + 2/3 = -7/12
5x/2 + 2/3 = -7/12
5x/2 = -7/12 -2/3
5x/2 = ( -7 -8)/12
5x/2 = -15/12
5x/2 = -5/4
x = (-5/4) × (2/5)
x = -10/20
x = -1/2
Therefore, the rational number is -1/2.

14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations 100, 50 and 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is 4,00,000. How many notes of each denomination does she have?
Lösung:
Let the numbers to notes of Rs.100, Rs.50, Rs.10, be 2x, 3x, and 5x respectively.
Value of Rs.100 = 2x × 100 = 200x
Value of Rs.50 = 3x × 50 = 150x
Value of Rs.10 = 5x × 10 = 50x.
According to the question,
200x + 150x + 50x = 4,00,000
400x = 4,00,000
x = 4,00,000/400
x = 1000
Numbers of Rs.100 notes = 2x = 2000
Numbers of Rs.50 notes = 3x = 3000
Numbers of Rs.10 notes = 5x = 5000

15. I have a total of Rs.300 in coins of denomination Rs.1, Rs.2 and Rs.5. The number of Rs.2 coins is 3 times the number of Rs.5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?
Lösung:
Let the number of Rs.5 coins be x.
Dann,
Number of Rs.2 coins = 3x
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x
Jetzt,
Value of Rs.5 coins = x × 5 = 5x
Value of Rs.2 coins = 3x × 2 = 6x
Value of Rs.1 coins = (160 – 4x) × 1 = 160 -4x
According to the question,
5x +6x + 160 – 4x = 300
11x + 160 – 4x = 300
7x = 300 – 160
7x = 140
x = 140/7
x = 20
Number of Rs.5 coins = x = 20
Number of Rs.2 coins = 3x = 60
Number of Rs.1 coins = 160 – 4x = 160 -80
= 80

16. The organisers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of Rs.100 and a participant who does not win gets a prize of Rs.25. The total prize money distributed is Rs.3000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Lösung:
Let the numbers of winner be x.
Then, the number of participants who didn’t win = 63 – x
Total money given to the winner = x × 100 = 100x
Total money given to participant who didn’t win = 25( 63 – x )
According to the question:
100x + 25( 63 – x ) = 3,000
100x + 1575 – 25x = 3,000
75x = 3,000 – 1575
75x = 1425
x = 1425/75
x = 19
Therefore, the number of winners are 19.


Chapter 2 Ex.2.1 Question 3

Lösung

Videolösung

What is known?

What is unknown?

In an equation values of left-hand side (LHS) and right-hand side (RHS) are equal. The two sides of the equation are balanced. We perform mathematical operations so that the balance is not disturbed.

Transposing (2) to LHS we get,


NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.6

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.6

Solve the following equations.
Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.
(frac < 8x-3 > < 3x >=2)
Lösung:
We have (frac < 8x-3 > < 3x >=2)
⇒ (frac < 8x-3 >< 3x >) = (frac < 2 >< 1 >)
⇒ 8x – 3 = 2 × 3x (Cross-multiplication)
⇒ 8x – 3 = 6x
⇒ 8x – 6x = 3 (Transposing 6x to LHS and 3 to RHS)
⇒ 2x = 3
⇒ x = (frac < 3 >< 2 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.
(frac < 9x >< 7-6x >) = 15
Lösung:
we have (frac < 9x >< 7-6x >) = 15
⇒ (frac < 9x >< 7-6x >) = (frac < 15 >< 1 >)
⇒ 9x = 15(7 – 6x) (Cross-multiplication)
⇒ 9x = 105 – 90x (Solving the bracket)
⇒ 9x + 90x = 105 (Transposing 90x to LHS)
⇒ 99x = 105
⇒ x = (frac < 105 >< 99 >)
⇒ x = (frac < 35 >< 33 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.
(frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
Lösung:
We have (frac < z > < z+15 >=frac < 4 >< 9 >)
⇒ 9z = 4 (z + 15) (Cross-multiplication)
⇒ 9z = 4z + 60 (Solving the bracket)
⇒ 9z – 42 = 60
⇒ 5z = 60
⇒ z = 12

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.
(frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
Lösung:
we have (frac < 3y+4 > < 2-6y >=frac < -2 >< 5 >)
⇒ 5(3y + 4) = -2(2 – 6y) (Cross-multiplication)
⇒ 15y + 20 = -4 + 12y (Solving the bracket)
⇒ 15y – 12y = -4 – 20 (Transposing 12y to LHS and 20 to RHS)
⇒ 3y = -24 (Transposing 3 to RHS) -24
⇒ y = -8

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.
(frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
Lösung:
we have (frac < 7y+4 > < y+2 >=frac < -4 >< 3 >)
⇒ 3(7y + 4) = -4 (y + 2) (Corss-multiplication)
⇒ 21y + 12 = -4y – 8 [Solving the bracket]
⇒ 21y + 4y = -12 – 8 [Transposing 4y to LHS and 12 to RHS]
⇒ 25y = -20 [Transposing 25 to RHS]
⇒ y = (frac < -4 >< 5 >)

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages of Hari and Harry are in the ratio 5 : 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 : 4. Find their present ages.
Lösung:
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.
After 4 years Hari’s age will be (5x + 4) years and Harry’s age will be (7x + 4) years.
As per the conditions, we have
(frac < 5x+4 > < 7x+4 >=frac < 3 >< 4 >)
⇒ 4(5x + 4) = 3(7x + 4) (Cross-multiplication)
⇒ 20x + 16 = 21x + 12 (Solving the bracket)
⇒ 20x – 21x = 12 – 16 (Transposing 21x to LHS and 16 to RHS)
⇒ -x = -4
⇒ x = 4
Hence the present ages of Hari and Harry are 5 × 4 = 20years and 7 × 4 = 28years respectively.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is (frac < 3 >< 2 >). Find the rational number.
Lösung:
Let the numerator of the rational number be x.
Denominator = (x + 8)
As per the conditions, we have

⇒ 2(x + 17) = 3(x + 7) (Cross-multiplication)
⇒ 2x + 34 = 3x + 21 (Solving the bracket)
⇒ 2x – 3x = 21 – 34 (Transposing 3x to LHS and 34 to RHS)
⇒ -x = -13
⇒ x = 13
Thus, numerator = 13
and denominator = 13 + 8 = 21
Hence the rational number is (frac < 13 >< 21 >).


Frage 1.
If you subtract (frac < 1 > < 2 >) from a number and multiply the result (frac < 1 > < 2 >) by you get (frac < 1 > < 8 >) What is the number ?
Lösung.

Frage 2.
The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and the breadth of the pool?
Lösung.

Frage 3.
The base of an isosceles triangle is (frac < 4 > < 3 >)cm. The perimeter of the triangle is (4frac < 2 > < 15 >)cm. What is the length of either of the remaining equal sides ?
Lösung.

Frage 4.
Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.
Lösung.

Frage 5.
Two numbers are in the ratio 5 :3. If they differ by 18, what are the numbers?
Lösung.

Frage 6.
Three consecutive integers add up to 51. What are these integers ?
Lösung.

Frage 7.
The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.
Lösung.

Frage 8.
Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.
Lösung.

Frage 9.
The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5 : 7. Four years later, the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages ?
Lösung.

Frage 10.
The numbers of boys and girls in a class are in the ratio 7 : 5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength ?
Lösung. .

Frage 11.
Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them ?
Lösung.

Frage 12.
Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age ?
Lösung.

Frage 13.
A rational number is such that when you multiply it by (frac < 5 > < 2 >) and add (frac < 2 > < 3 >) to the product, you get(-frac < 7 > < 12 >). What is the number ?
Lösung.

Frage 14.
Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹ 100, ₹ 50 and ₹ 10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2 : 3 : 5. The total cash with Lakshmi is ₹ 4,00,000. How many notes of each denomination does she have ?
Lösung.

Frage 15.
I have a total of oft 300 in coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5. The number of ₹ 2 coins is 3 times the number of ₹ 5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me ?
Lösung.

Hence, I have 80, 60, and 20 coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5 respectively.

Frage 16.
The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹ 100 and a participant who does not win gets a prize of ₹ 25. The total prize money distributed is ₹ 3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.
Lösung.

We hope the NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.2, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


2.2: Linear Equations in One Variable

Let the number be ‘a’.

According to the question,

(a – 1/2) × 1/2 = 1/8

a/2 – 1/4 = 1/8



a/2 = 1/8 + 1/4

a/2 = 1/8 + 2/8

a/2 = (1 + 2)/8

a/2 = 3/8

a = (3/8) × 2

So,

a = 3/4

Question 2. The perimeter of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice its breadth. What are the length and breadth of the pool?

Angesichts dessen,

Perimeter of rectangular swimming pool = 154 m

Let the breadth of rectangle be ‘a’

Length of the rectangle = 2a + 2 We know that,

Perimeter = 2 × (length + breadth)

So,

2(2a + 2 + a) = 154

2(3a + 2) = 154

3a + 2 = 154/2

3a = 77 – 2



3a = 75

a = 75/3

a = 25

Therefore, Breadth = 25 m

Length = 2a + 2

= (2 × 25) + 2

= 50 + 2

Length = 52 m

Question 3. The base of an isosceles triangle is 4/3 cm. The perimeter of the triangle is 62/15 cm. What is the length of either of the remaining equal sides?

Base of isosceles triangle = 4/3 cm

Perimeter of triangle = 62/15

Let the length of equal sides of triangle be ‘a’.

So,

2a = (62/15 – 4/3)

2a = (62 – 20)/15

2a = 42/15

a = (42/30) × (1/2)

a = 42/30

a = 7/5

So, length of either of the remaining equal sides are 7/5 cm each.


Question 4. Sum of two numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers.

Let one of the numbers be ‘a’.

Then, the other number becomes (a + 15) Given in the question,

Also given that,

a + (a + 15) = 95

2a + 15 = 95

2a = 95 – 15

2a = 80

a = 80/2

a = 40

So, First number = 40

And, other number is = (a + 15) = 40 + 15 = 55

Question 5. Two numbers are in the ratio 5 : 3. If they differ by 18, what are the numbers?

Let the two numbers be 𔃵a’ and 𔃳a’. So, according to the question,

5a – 3a = 18

2a = 18

a = 18/2

a = 19

Daher,

The first numbers is (5a) = 5 × 9 = 45

And another number (3a) = 3 × 9 = 27.

Question 6. Three consecutive integers add up to 51. What are these integers?

Let the three consecutive integers be ‘a’, ‘a + 1’ and ‘a + 2’. So, according to the question,

a + (a + 1) + (a + 2) = 51

3a + 3 = 51

3a = 51 – 3

3a = 48

a = 48/3

a = 16

So, the integers are



First integer will be (a) = 16

Second integer will be (a + 1) = 17

& third integer will be (a + 2) = 18

Question 7. The sum of three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples.

Let the three consecutive multiples of 8 be 𔃸a’, 𔃸(a+1)’ and 𔃸(a+2)’. According to the question,

Given,

8a + 8(a + 1) + 8(a + 2) = 888

8 (a + a + 1 + a + 2) = 888 (Taking 8 as common)

8 (3a + 3) = 888

3a + 3 = 888/8

3a + 3 = 111

3a = 111 – 3

3a = 108

a = 108/3

a = 36

Thus, the three consecutive multiples of 8 are:

First no. = 8a = 8 × 36 = 288

Second no. = 8(a + 1) = 8 × (36 + 1) = 8 × 37 = 296

Third No. = 8(a + 2) = 8 × (36 + 2) = 8 × 38 = 304

Question 8. Three consecutive integers are such that when they are taken in increasing order and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these numbers.

Let the three consecutive integers are ‘a’, ‘a+1’ and ‘a+2’. According to the question,

Given,

2a + 3(a + 1) + 4(a + 2) = 74

2a + 3a +3 + 4a + 8 = 74

9a + 11 = 74

9a = 74 – 11

9a = 63

a = 63/9

a = 7

Thus, the numbers are:

First integer. = a = 7

Second integer = a + 1 = 8

and Third integer = a + 2 = 9

Question 9. The ages of Rahul and Haroon are in the ratio 5:7. Four years later the sum of their ages will be 56 years. What are their present ages?

Let the ages of Rahul and Haroon be 𔃵a’ and 𔃷a’.

Four years later,

The ages of Rahul and Haroon will be (5a + 4) and (7a + 4) respectively. According to the question,

Given, (5a + 4) + (7a + 4) = 56

5a + 4 + 7a + 4 = 56

12a + 8 = 56



12a = 56 – 8

12a = 48

a = 48/12

a = 4

Therefore, Present age of Rahul = 5a = 5 × 4 = 20

And, present age of Haroon = 7a = 7 × 4 = 28

Question 10. The number of boys and girls in a class are in the ratio 7:5. The number of boys is 8 more than the number of girls. What is the total class strength?

Let the number of boys be 𔃷a’ and girls be 𔃵a’.

According to the question,

Given, 7a = 5a + 8

7a – 5a = 8

2a = 8

a = 8/2

a = 4

Therefore, Number of boys = 7 × 4 = 28

And, Number of girls = 5 × 4 = 20

Total number of students = 20 + 28 = 48

Question 11. Baichung’s father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one of them?

Let age of Baichung’s father be ‘a’.

Then, age of Baichung’s grandfather = (a + 26)

and, Age of Baichung = (a – 29) According to the question,

Given, a + (a + 26) + (a – 29) = 135

3a + 26 – 29 = 135

3a – 3 = 135

3a = 135 + 3

3a = 138

a = 138/3

a = 46

Age of Baichung’s father = a = 46

Age of Baichung’s grandfather = (a + 26) = 46 + 26 = 72

Age of Baichung = (a – 29) = 46 – 29 = 17

Question 12. Fifteen years from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present age?

Let the present age of Ravi be ‘a’.

Fifteen years later, Ravi age will be (a+15) years. According to the question,

Given, a + 15 = 4a

4a – a = 15

3a = 15

a = 15/3

a = 5

Therefore, Present age of Ravi = 5 years.

Question 13. A rational number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get -7/12. What is the number?

Let the rational be ‘a’.

According to the question,

Given, a × (5/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) + 2/3 = -7/12

5(a/2) = -7/12 – 2/3

5(a/2) = (-7- 8)/12

5(a/2) = -15/12

5a/2 = -5/4

a = (-5/4) × (2/5)



a = – 10/20

a = -1/2

Therefore, the rational number will be -1/2.

Question 14. Lakshmi is a cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹100, ₹50 and ₹10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total cash with Lakshmi is ₹4,00,000. How many notes of each denomination does she have?

Let the numbers of notes of ₹100, ₹50 and ₹10 be 𔃲a’ , 𔃳a’ and 𔃵a’ respectively.

Value of ₹100 = 2a × 100 = 200a

Value of ₹50 = 3a × 50 = 150a

Value of ₹10 = 5a × 10 = 50a According to the question,

Given, 200a + 150a + 50a = 400000

400a = 400000

a = 400000/400

a = 1000

Numbers of ₹100 notes = 2a = 2000

Numbers of ₹50 notes = 3a = 3000

Numbers of ₹10 notes = 5a = 5000

Question 15. I have a total of ₹300 in coins of denomination ₹1, ₹2 and ₹5. The number of ₹2 coins is 3 times the number of ₹5 coins. The total number of coins is 160. How many coins of each denomination are with me?

Let number of ₹5 coins be ‘a’.

Dann,

Number ₹2 coins = 3a

and, number of ₹1 coins = (160 – 4a) Now,

Value of ₹5 coins= a × 5 = 5a

Value of ₹2 coins = 3a × 2 = 6a

Value of ₹1 coins = (160 – 4a) × 1 = (160 – 4a)

According to the question,

Given, 5a + 6a + (160 – 4a) = 300

11a + 160 – 4a = 300

7a = 140

a = 140/7

a = 20

Number of ₹5 coins = a = 20

Number of ₹2 coins = 3a = 60

Number of ₹1 coins = (160 – 4a) = 160 – 80 = 80

Question 16. The organizers of an essay competition decide that a winner in the competition gets a prize of ₹100 and a participant who does not win gets a prize of ₹25. The total prize money distributed is ₹3,000. Find the number of winners, if the total number of participants is 63.

Let the numbers of winner be ‘a’

Then, the number of participant who didn’t win will be (63 – a)

Total money given to the winner = a × 100 = 100a

Total money given to participant who didn’t win = 25 × (63 – a)

According to the question,

Given, 100a + 25 × (63 – a) = 3000

100a + 1575 – 25a = 3000

75a = 3000 – 1575

75a = 1425

a = 1425/75

a = 19

So, the number of winners are 19.


Solve the following equations:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 1.

Lösung:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 2.

Lösung:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 3.

Lösung:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 4.

Lösung:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 5.

Lösung:

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 6.
The ages ofHari and Harry are in the ratio 5: 7. Four years from now the ratio of their ages will be 3 :4. Find their present ages.
Lösung.
Let the present ages of Hari and Harry be 5x years and 7x years respectively.

∴ Present age of Hari =5 x 4 years = 20 years
∴ Present age of Harry =7 x 4 years = 28 years.

Ex 2.6 Class 8 Maths Question 7.
The denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained is . Find the rational number.
Lösung.
Let the numerator of the rational number be x. Then, the denominator of the rational number = x + 8.
∴ The rational number =
If the numerator is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number becomes .

Hence, the required rational number = .

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NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Ex 2.3

NCERT Solutions for Class 8 Maths Chapter 2 Linear Equations in One Variable Exercise 2.3

Solve the following equations and check your results.
Ex 2.3 Class 8 Maths Question 1.
3x = 2x + 18
Lösung:
We have 3x = 2x + 18
⇒ 3x – 2x = 18 (Transposing 2x to LHS)
⇒ x = 18
Hence, x = 18 is the required solution.
Check: 3x = 2x + 18
Putting x = 18, we have
LHS = 3 × 18 = 54
RHS = 2 × 18 + 18 = 36 + 18 = 54
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 2.
5t – 3 = 3t – 5
Lösung:
We have 5t – 3 = 3t – 5
⇒ 5t – 3t – 3 = -5 (Transposing 3t to LHS)
⇒ 2t = -5 + 3 (Transposing -3 to RHS)
⇒ 2t = -2
⇒ t = -2 ÷ 2
⇒ t = -1
Hence t = -1 is the required solution.
Check: 5t – 3 = 3t – 5
Putting t = -1, we have
LHS = 5t – 3 = 5 × (-1)-3 = -5 – 3 = -8
RHS = 3t – 5 = 3 × (-1) – 5 = -3 – 5 = -8
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 3.
5x + 9 = 5 + 3x
Lösung:
We have 5x + 9 = 5 + 3x
⇒ 5x – 3x + 9 = 5 (Transposing 3x to LHS) => 2x + 9 = 5
⇒ 2x = 5 – 9 (Transposing 9 to RHS)
⇒ 2x = -4
⇒ x = -4 ÷ 2 = -2
Hence x = -2 is the required solution.
Check: 5x + 9 = 5 + 3x
Putting x = -2, we have
LHS = 5 × (-2) + 9 = -10 + 9 = -1
RHS = 5 + 3 × (-2) = 5 – 6 = -1
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 4.
4z + 3 = 6 + 2z
Lösung:
We have 4z + 3 = 6 + 2z
⇒ 4z – 2z + 3 = 6 (Transposing 2z to LHS)
⇒ 2z + 3 = 6
⇒ 2z = 6 – 3 (Transposing 3 to RHS)
⇒ 2z = 3
⇒ z = (frac < 3 >< 2 >)
Hence z = (frac < 3 >< 2 >) is the required solution.
Check: 4z + 3 = 6 + 2z
Putting z = (frac < 3 >< 2 >), we have
LHS = 4z + 3 = 4 × (frac < 3 >< 2 >) + 3 = 6 + 3 = 9
RHS = 6 + 2z = 6 + 2 × (frac < 3 >< 2 >) = 6 + 3 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 5.
2x – 1 = 14 – x
Lösung:
We have 2x – 1 = 14 – x
⇒ 2x + x = 14 + 1 (Transposing x to LHS and 1 to RHS)
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15 ÷ 3 = 5
Hence x = 5 is the required solution.
Check: 2x – 1 = 14 – x
Putting x = 5
LHS we have 2x – 1 = 2 × 5 – 1 = 10 – 1 = 9
RHS = 14 – x = 14 – 5 = 9
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 6.
8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Lösung:
We have 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
⇒ 8x + 4 = 3x – 3 + 7 (Solving the bracket)
⇒ 8x + 4 = 3x + 4
⇒ 8x – 3x = 4 – 4 [Transposing 3x to LHS and 4 to RHS]
⇒ 5x = 0
⇒ x = 0 ÷ 5 [Transposing 5 to RHS]
or x = 0
Thus x = 0 is the required solution.
Check: 8x + 4 = 3(x – 1) + 7
Putting x = 0, we have
8 × 0 + 4 = 3(0 – 1) + 7
⇒ 0 + 4 = -3 + 7
⇒ 4 = 4
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 7.
x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Lösung:
We have x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
⇒ 5 × x = 4(x + 10) (Transposing 5 to LHS)
⇒ 5x = 4x + 40 (Solving the bracket)
⇒ 5x – 4x = 40 (Transposing 4x to LHS)
⇒ x = 40
Thus x = 40 is the required solution.
Check: x = (frac < 4 >< 5 >) (x + 10)
Putting x = 40, we have
40 = (frac < 4 >< 5 >) (40 + 10)
⇒ 40 = (frac < 4 >< 5 >) × 50
⇒ 40 = 4 × 10
⇒ 40 = 40
LHS = RHS
Hence verified.

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 8.
(frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
Lösung:
We have (frac < 2x >< 3 >) + 1 = (frac < 7x >< 15 >) + 3
15((frac < 2x >< 3 >) + 1) = 15((frac < 7x >< 15 >) + 3)
LCM of 3 and 15 is 15
(frac < 2x >< 3 >) × 15 + 1 × 15 = (frac < 7x >< 15 >) × 15 + 3 × 15 [Multiplying both sides by 15]
⇒ 2x × 5 + 15 = 7x + 45
⇒ 10x + 15 = 7x + 45
⇒ 10x – 7x = 45 – 15 (Transposing 7x to LHS and 15 to RHS)
⇒ 3x = 30
⇒ x = 30 ÷ 3 = 10 (Transposing 3 to RHS)
Thus the required solution is x = 10

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 9.
2y + (frac < 5 >< 3 >) = (frac < 26 >< 3 >) – y
Lösung:

Ex 2.3 Class 8 Maths Question 10.
3m = 5m – (frac < 8 >< 5 >)
Lösung:
Wir haben


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